Henry Segerman: Materiële Harmonie in Wiskunde

2024 Outeur: Seth Attwood | [email protected]. Laas verander: 2023-12-16 15:56

Volgens legende was Pythagoras die eerste wat ontdek het dat twee ewe uitgerekte snare 'n aangename klank uitstraal as hul lengtes as klein heelgetalle verband hou. Sedertdien is mense gefassineer deur die geheimsinnige verband tussen skoonheid en wiskunde, 'n heeltemal materiële harmonie van vorms, vibrasies, simmetrie - en 'n perfekte abstraksie van getalle en verwantskappe.

Hierdie verband is kortstondig, maar tasbaar; dit is nie verniet dat kunstenaars die wette van meetkunde vir baie jare gebruik en deur wiskundige wette geïnspireer is nie. Henry Segerman het dit moeilik gevind om hierdie bron van idees te laat vaar: hy is immers 'n wiskundige van beroep en van beroep.

Klein-bottel “Deur die rande van twee Mobius-stroke verstandelik vas te plak,” sê Henry Segerman, “kan jy 'n Klein-bottel kry, wat ook een oppervlak het. Hier sien ons 'n Klein bottel gemaak van Mobius-stroke met 'n ronde rand.

Eerder hoe dit in driedimensionele ruimte kan lyk. Aangesien die oorspronklike "ronde" Mobius-stroke tot oneindig gaan, sal so 'n Klein-bottel twee keer tot oneindig voortgaan en homself kruis, wat in die beeldhouwerk gesien kan word."’n Vergrote kopie van hierdie beeldhouwerk pryk op die Departement Wiskunde en Statistiek aan die Universiteit van Melbourne.

Fraktale

"Ek is in 'n familie van wetenskaplikes gebore, en ek dink dat my belangstelling in enigiets wat gevorderde ruimtelike denke vereis, hiermee verband hou," sê Henry. Vandag is hy reeds 'n gegradueerde van die Oxford nagraadse en doktorale studies aan Stanford Universiteite, en beklee die pos van Medeprofessor aan die Universiteit van Oklahoma.

Maar 'n suksesvolle wetenskaplike loopbaan is net een kant van sy veelsydige persoonlikheid: meer as 12 jaar gelede het die wiskundige kunsgeleenthede begin organiseer … in die virtuele wêreld van Second Life.

Hierdie driedimensionele simulator met elemente van 'n sosiale netwerk was toe baie gewild, wat gebruikers in staat gestel het om nie net met mekaar te kommunikeer nie, maar ook om hul virtuele "avatars" en areas toe te rus vir vermaak, werk, ens.

Naam: Henry Segerman

Gebore in 1979

Onderwys: Stanford Universiteit

Stad: Stillwater, VSA

Leuse: "Neem net een idee, maar wys dit so duidelik as moontlik."

Segerman het hierheen gekom, gewapen met formules en getalle, en sy virtuele wêreld op 'n wiskundige manier gerangskik en dit gevul met ongekende fraktale figure, spirale en selfs tesserakte, vierdimensionele hiperkubusse. "Die resultaat is 'n projeksie van 'n vierdimensionele hiperkubus in die driedimensionele heelal van Second Life - wat self 'n projeksie van 'n driedimensionele virtuele wêreld op 'n tweedimensionele platskerm is," merk die kunstenaar op.

Hilbert se kromme: 'n aaneenlopende lyn vul die ruimte van 'n kubus, en onderbreek nooit of sny met homself nie.

Hilbert-kurwes is fraktale strukture, en as jy inzoem, kan jy sien dat dele van hierdie kurwe die vorm van die geheel volg. “Ek het hulle al duisende kere in illustrasies en rekenaarmodelle gesien, maar toe ek die eerste keer so’n 3D-beeldhouwerk in my hande neem, het ek dadelik opgemerk dat dit ook veerkragtig is,” sê Segerman. "Die fisiese beliggaming van wiskundige konsepte is altyd verrassend met iets."

Hy het egter baie meer daarvan gehou om met materiaalbeeldhouwerke te werk. "Daar is groot hoeveelhede inligting wat heeltyd rondom ons sirkuleer," sê Segerman. - Gelukkig het die regte wêreld 'n baie groot bandwydte, wat nog nie op die web beskikbaar is nie.

Gee 'n persoon 'n voltooide ding, 'n integrale vorm - en hy sal dit onmiddellik in al sy kompleksiteit waarneem, sonder om te wag vir laai. So sedert 2009 het Segerman 'n bietjie meer as 'n honderd beelde geskep, en elkeen van hulle is 'n visuele en, sover moontlik, presiese fisiese vergestalting van abstrakte wiskundige konsepte en wette.

Veelvlakke

Die evolusie van Segerman se artistieke eksperimente met 3D-drukwerk herhaal vreemd genoeg die evolusie van wiskundige idees. Van sy eerste eksperimente was die klassieke Platoniese vastestowwe, 'n stel van vyf simmetriese figure, gevou in reëlmatige driehoeke, vyfhoeke en vierkante. Hulle is gevolg deur semi-reëlmatige veelvlakke - 13 Archimedese vaste stowwe, waarvan die vlakke deur ongelyke reëlmatige veelhoeke gevorm word.

Stanford Rabbit 3D-model wat in 1994 geskep is. Dit bestaan uit byna 70 000 driehoeke en dien as 'n eenvoudige en gewilde toets van die werkverrigting van sagteware-algoritmes. Byvoorbeeld, op 'n haas, kan jy die doeltreffendheid van data-kompressie of oppervlak gladmaak vir rekenaargrafika toets.

Daarom, vir spesialiste, is hierdie vorm dieselfde as die frase "Eet nog van hierdie sagte Franse rolletjies" vir diegene wat daarvan hou om met rekenaarlettertipes te speel. Die Stanford Bunny-beeldhouwerk is dieselfde model, waarvan die oppervlak geplavei is met die letters van die woord bunny.

Reeds hierdie eenvoudige vorms, nadat hulle van tweedimensionele illustrasies en die ideale wêreld van verbeelding na driedimensionele werklikheid gemigreer het, wek innerlike bewondering vir hul lakoniese en volmaakte skoonheid. “Die verhouding tussen wiskundige skoonheid en die skoonheid van visuele of klankkunswerke lyk vir my baie broos.

Baie mense is immers deeglik bewus van een vorm van hierdie skoonheid, en verstaan die ander heeltemal nie. Wiskundige idees kan in sigbare of vokale vorme vertaal word, maar nie almal nie, en nie naastenby so maklik as wat dit mag lyk nie,” voeg Segerman by.

Gou het al hoe meer komplekse vorms die klassieke figure gevolg, tot dié waaraan Archimedes of Pythagoras skaars kon dink – gereelde veelvlakke wat Lobatsjofski se hiperboliese ruimte sonder 'n interval vul.

Sulke figure met ongelooflike name soos "tetraëdriese heuningkoek van orde 6" of "seskantige mosaïek heuningkoek" kan nie voorgestel word sonder 'n visuele prentjie byderhand nie. Of - een van die beeldhouwerke van Segerman, wat hulle in ons gewone driedimensionele Euklidiese ruimte verteenwoordig.

Platoniese vaste stowwe: 'n tetraëder, oktaëder en ikosaëder gevou in reëlmatige driehoeke, sowel as 'n kubus en 'n ikosaëder wat bestaan uit vierkante wat op vyfhoeke gebaseer is.

Plato het dit self met vier elemente geassosieer: "gladde" oktaëdriese deeltjies, na sy mening, gevoude lug, "vloeibare" ikosaëders - water, "digte" kubusse - aarde, en skerp en "doringagtige" tretraëders - vuur. Die vyfde element, die dodekaëder, is deur die filosoof as 'n deeltjie van die wêreld van idees beskou.

Die kunstenaar se werk begin met 'n 3D-model, wat hy in die professionele Renoster-pakket bou. Oor die algemeen is dit hoe dit eindig: die vervaardiging van beelde self, die druk van die model op 'n 3D-drukker, Henry bestel eenvoudig deur Shapeways, 'n groot aanlyn gemeenskap van 3D-druk-entoesiaste, en ontvang 'n voltooide voorwerp gemaak van plastiek of staal-brons-gebaseerde metaalmatriks-samestellings. "Dit is baie maklik," sê hy. "Jy laai net 'n model na die webwerf op, klik die Voeg by mandjie-knoppie, plaas 'n bestelling, en oor 'n paar weke sal dit per pos aan jou afgelewer word."

Figuur Agt Komplement Stel jou voor dat jy 'n knoop in 'n vaste stof bind en dit dan verwyder; die oorblywende holte word die komplement van die nodus genoem. Hierdie model toon die toevoeging van een van die eenvoudigste knope, die syfer agt.

skoonheid

Uiteindelik neem die evolusie van Segerman se wiskundige beeldhouwerke ons in die komplekse en meesleurende veld van topologie. Hierdie tak van wiskunde bestudeer die eienskappe en vervormings van plat oppervlaktes en ruimtes van verskillende afmetings, en hul breër kenmerke is belangrik daarvoor as vir klassieke meetkunde.

Hier kan 'n kubus maklik in 'n bal verander word, soos plasticine, en 'n koppie met 'n handvatsel kan in 'n doughnut gerol word sonder om iets belangriks daarin te breek - 'n bekende voorbeeld wat in Segerman se elegante Topological Joke vergestalt word.

Die tesserakt is 'n vierdimensionele kubus: net soos 'n vierkant verkry kan word deur 'n segment loodreg daarop te verplaas op 'n afstand gelyk aan sy lengte, kan 'n kubus verkry word deur op soortgelyke wyse 'n vierkant in drie dimensies te kopieer, en deur 'n kubus te skuif in die vierde sal ons 'n tesserakt, of hiperkubus, "teken". Dit sal 16 hoekpunte en 24 vlakke hê, waarvan die projeksies in ons driedimensionele ruimte min soos 'n gewone driedimensionele kubus lyk.

"In wiskunde is die estetiese sin baie belangrik, wiskundiges hou van" pragtige "stellings, - redeneer die kunstenaar. - Dit is moeilik om te bepaal waaruit hierdie skoonheid presies bestaan, soos inderdaad in ander gevalle. Maar ek sou sê dat die skoonheid van die stelling in sy eenvoud is, wat jou toelaat om iets te verstaan, om 'n paar eenvoudige verbande te sien wat voorheen ongelooflik kompleks gelyk het.

Die kern van wiskundige skoonheid kan suiwer, effektiewe minimalisme wees - en 'n verraste uitroep van "Aha!" ". Die diep skoonheid van wiskunde kan so skrikwekkend wees soos die ysige ewigheid van die Sneeukoningin se paleis. Al hierdie koue harmonie weerspieël egter altyd die innerlike ordelikheid en reëlmaat van die Heelal waarin ons leef. Wiskunde is net 'n taal wat onmiskenbaar by hierdie elegante en komplekse wêreld pas.

Paradoksaal genoeg bevat dit fisiese ooreenkomste en toepassings vir byna enige stelling in die taal van wiskundige formules en verbande. Selfs die mees abstrakte en "kunsmatige" konstruksies sal vroeër of later 'n toepassing vind in die werklike wêreld.

'n Topologiese grap: vanuit 'n sekere oogpunt is die oppervlaktes van 'n sirkel en 'n doughnut "dieselfde", of, meer presies, hulle is homeomorfies, aangesien hulle in staat is om in mekaar te transformeer sonder breek en gom, a.g.v. geleidelike vervorming.

Euklidiese meetkunde het 'n weerspieëling van die klassieke stilstaande wêreld geword, differensiaalrekening het handig te pas gekom vir Newtoniaanse fisika. Die ongelooflike Riemanniese metriek, soos dit geblyk het, is nodig om Einstein se onstabiele heelal te beskryf, en multidimensionele hiperboliese ruimtes het toepassing gevind in snaarteorie.

In hierdie vreemde ooreenstemming van abstrakte berekeninge en getalle met die fondamente van ons werklikheid, lê miskien die geheim van die skoonheid wat ons noodwendig agter al die koue berekeninge van wiskundiges voel.