Wat is fraktale: die skoonheid van wiskunde en oneindigheid

2024 Outeur: Seth Attwood | [email protected]. Laas verander: 2023-12-16 15:56

Fraktale is al 'n eeu lank bekend, is goed bestudeer en het talle toepassings in die lewe. Hierdie verskynsel is egter gebaseer op 'n baie eenvoudige idee: 'n magdom vorms, oneindig in skoonheid en verskeidenheid, kan verkry word uit relatief eenvoudige strukture deur slegs twee bewerkings te gebruik - kopieer en skaal.

Wat het 'n boom, 'n seestrand, 'n wolk of bloedvate in ons hand in gemeen? Met die eerste oogopslag kan dit lyk asof al hierdie voorwerpe niks in gemeen het nie. In werklikheid is daar egter een eienskap van struktuur inherent aan al die gelyste voorwerpe: hulle is dieselfde. Van die tak, sowel as van die stam van die boom, is daar kleiner takke, van hulle - selfs kleineres, ens., dit wil sê, die tak is soos die hele boom.

Die bloedsomloopstelsel is op 'n soortgelyke manier gerangskik: arterioles vertrek van die are, en van hulle - die kleinste kapillêre waardeur suurstof die organe en weefsels binnedring. Kom ons kyk na satellietbeelde van die seekus: ons sal baaie en skiereilande sien; kom ons kyk daarna, maar uit 'n voëlvlug: ons sal baaie en kappe sien; Kom ons verbeel ons nou dat ons op die strand staan en na ons voete kyk: daar is altyd klippies wat verder as die res in die water uitsteek.

Dit wil sê, die kuslyn bly soortgelyk aan homself wanneer ingezoem. Die Amerikaanse (hoewel in Frankryk grootgemaak) wiskundige Benoit Mandelbrot het hierdie eienskap van voorwerpe fraktaliteit genoem, en sulke voorwerpe self - fraktale (van die Latynse fractus - gebreek).

Wat is 'n fraktaal?

Hierdie konsep het geen streng definisie nie. Daarom is die woord "fraktaal" nie 'n wiskundige term nie. Tipies is 'n fraktaal 'n meetkundige figuur wat aan een of meer van die volgende eienskappe voldoen: • Dit het 'n komplekse struktuur by enige vergroting (in teenstelling met byvoorbeeld 'n reguit lyn, waarvan enige deel die eenvoudigste meetkundige figuur is - 'n lynstuk). • Is (ongeveer) self-soortgelyk. • Het 'n fraksionele Hausdorff (fraktale) dimensie, wat groter is as die topologiese een. • Kan gebou word met rekursiewe prosedures.

Meetkunde en Algebra

Die studie van fraktale aan die draai van die 19de en 20ste eeue was eerder episodies as sistematies, omdat vroeëre wiskundiges hoofsaaklik "goeie" voorwerpe bestudeer het wat vatbaar was vir navorsing deur algemene metodes en teorieë te gebruik. In 1872 konstrueer die Duitse wiskundige Karl Weierstrass 'n voorbeeld van 'n kontinue funksie wat nêrens onderskeibaar is nie. Die konstruksie daarvan was egter heeltemal abstrak en moeilik om waar te neem.

Daarom het die Sweed Helge von Koch in 1904 'n aaneenlopende kromme uitgevind wat nêrens raaklyn het nie, en dit is redelik eenvoudig om te teken. Dit het geblyk dat dit die eienskappe van 'n fraktaal het. Een van die variante van hierdie kromme word die "Koch-sneeuvlok" genoem.

Die idees van self-ooreenkoms van figure is opgetel deur die Fransman Paul Pierre Levy, die toekomstige mentor van Benoit Mandelbrot. In 1938 publiseer hy sy artikel "Plane and ruimtelike kurwes en oppervlaktes, bestaande uit dele soortgelyk aan die geheel", wat 'n ander fraktaal beskryf - die Lévy C-kurwe. Al hierdie fraktale hierbo kan voorwaardelik aan een klas konstruktiewe (meetkundige) fraktale toegeskryf word.

Nog 'n klas is dinamiese (algebraïese) fraktale, wat die Mandelbrot-versameling insluit. Die eerste studies in hierdie rigting het aan die begin van die 20ste eeu begin en word geassosieer met die name van die Franse wiskundiges Gaston Julia en Pierre Fatou. In 1918 is Julia se memoires van byna tweehonderd bladsye, gewy aan iterasies van komplekse rasionele funksies, gepubliseer, waarin Julia se versamelings beskryf is –’n hele familie fraktale wat nou verwant is aan die Mandelbrot-versameling. Hierdie werk is bekroon met die prys van die Franse Akademie, maar dit het nie 'n enkele illustrasie bevat nie, so dit was onmoontlik om die skoonheid van die voorwerpe wat ontdek is te waardeer.

Ten spyte van die feit dat hierdie werk Julia onder die wiskundiges van die tyd verheerlik het, is dit vinnig vergeet. Eers 'n halwe eeu later het rekenaars weer onder die aandag gekom: dit was hulle wat die rykdom en skoonheid van die wêreld van fraktale sigbaar gemaak het.

Fraktale afmetings

Soos u weet, is die afmeting (aantal metings) van 'n meetkundige figuur die aantal koördinate wat benodig word om die posisie van 'n punt wat op hierdie figuur lê, te bepaal.

Byvoorbeeld, die posisie van 'n punt op 'n kromme word bepaal deur een koördinaat, op 'n oppervlak (nie noodwendig 'n vlak nie) deur twee koördinate, in driedimensionele ruimte deur drie koördinate.

Vanuit 'n meer algemene wiskundige oogpunt kan jy die dimensie op hierdie manier definieer: 'n toename in lineêre dimensies, sê, twee keer, vir eendimensionele (uit 'n topologiese oogpunt) voorwerpe (segment) lei tot 'n toename in grootte (lengte) twee keer, vir tweedimensioneel (vierkant) lei dieselfde toename in lineêre afmetings tot 'n toename in grootte (oppervlakte) met 4 keer, vir driedimensioneel (kubus) - met 8 keer. Dit wil sê, die "regte" (sogenaamde Hausdorff) dimensie kan bereken word as die verhouding van die logaritme van 'n toename in die "grootte" van 'n voorwerp tot die logaritme van 'n toename in sy lineêre grootte. Dit wil sê, vir die segment D = log (2) / log (2) = 1, vir die vlak D = log (4) / log (2) = 2, vir die volume D = log (8) / log (2)) = 3.

Kom ons bereken nou die afmeting van die Koch-kromme, vir die konstruksie waarvan die eenheidsegment in drie gelyke dele verdeel word en die middelinterval vervang word deur 'n gelyksydige driehoek sonder hierdie segment. Met 'n toename in die lineêre afmetings van die minimum segment drie keer, neem die lengte van die Koch-kromme toe in log (4) / log (3) ~ 1, 26. Dit wil sê, die afmeting van die Koch-kromme is fraksioneel!

Wetenskap en kuns

In 1982 is Mandelbrot se boek "The Fractal Geometry of Nature" gepubliseer, waarin die skrywer byna al die inligting wat destyds beskikbaar was oor fraktale versamel en gesistematiseer het en dit op 'n maklike en toeganklike manier aangebied het. In sy aanbieding het Mandelbrot die hoofklem nie op omslagtige formules en wiskundige konstruksies gelê nie, maar op die geometriese intuïsie van die lesers. Danksy rekenaargegenereerde illustrasies en historiese verhale, waarmee die skrywer die wetenskaplike komponent van die monografie bekwaam verdun het, het die boek 'n blitsverkoper geword, en fraktale het aan die algemene publiek bekend geraak.

Hul sukses onder nie-wiskundiges is grootliks te danke aan die feit dat met behulp van baie eenvoudige konstruksies en formules wat 'n hoërskoolleerling kan verstaan, beelde van verstommende kompleksiteit en skoonheid verkry word. Toe persoonlike rekenaars kragtig genoeg geword het, het selfs 'n hele neiging in kuns verskyn - fraktale skildery, en byna enige rekenaareienaar kon dit doen. Nou op die internet kan jy maklik baie webwerwe vind wat aan hierdie onderwerp gewy is.

Oorlog en vrede

Soos hierbo genoem, is een van die natuurlike voorwerpe met fraktale eienskappe die kuslyn. Een interessante verhaal word met hom verbind, of liewer, met 'n poging om die lengte daarvan te meet, wat die basis van Mandelbrot se wetenskaplike artikel gevorm het, en ook in sy boek "The Fractal Geometry of Nature" beskryf word.

Dit is 'n eksperiment wat deur Lewis Richardson, 'n baie talentvolle en eksentrieke wiskundige, fisikus en weerkundige, opgevoer is. Een van die rigtings van sy navorsing was 'n poging om 'n wiskundige beskrywing van die oorsake en waarskynlikheid van 'n gewapende konflik tussen die twee lande te vind. Van die parameters wat hy in ag geneem het, was die lengte van die gemeenskaplike grens van die twee strydende lande. Toe hy data vir numeriese eksperimente ingesamel het, het hy gevind dat in verskillende bronne die data oor die gemeenskaplike grens tussen Spanje en Portugal baie verskil.

Dit het hom aangespoor om die volgende te ontdek: die lengte van 'n land se grense hang af van die liniaal waarmee ons dit meet. Hoe kleiner die skaal, hoe langer is die grens. Dit is te wyte aan die feit dat dit met 'n hoër vergroting moontlik word om meer en meer kusdraaie in ag te neem, wat voorheen geïgnoreer is weens die grofheid van die metings. En as, met elke toename in skaal, die voorheen onverklaarde buigings van die lyne sal oopmaak, dan blyk dit dat die lengte van die grense oneindig is! Dit is waar, in werklikheid gebeur dit nie - die akkuraatheid van ons metings het 'n eindige limiet. Hierdie paradoks word die Richardson-effek genoem.

Konstruktiewe (meetkundige) fraktale

Die algoritme vir die konstruksie van 'n konstruktiewe fraktaal in die algemene geval is soos volg. Eerstens benodig ons twee geskikte meetkundige vorms, kom ons noem hulle 'n basis en 'n fragment. In die eerste stadium word die basis van die toekomstige fraktaal uitgebeeld. Dan word sommige van sy onderdele vervang met 'n fragment wat op 'n geskikte skaal geneem is - dit is die eerste herhaling van konstruksie. Dan verander die resulterende figuur weer sommige dele in figure soortgelyk aan 'n fragment, ensovoorts As ons hierdie proses onbepaald voortduur, dan kry ons in die limiet 'n fraktaal.

Kom ons kyk na hierdie proses deur die Koch-kromme as voorbeeld te gebruik. As basis vir die Koch-kromme kan jy enige kromme neem (vir die "Koch-sneeuvlok" is dit 'n driehoek). Maar ons sal ons beperk tot die eenvoudigste geval - 'n segment. 'n Fragment is 'n gebroke lyn wat bo in die figuur getoon word. Na die eerste iterasie van die algoritme, in hierdie geval, sal die aanvanklike segment met die fragment saamval, dan sal elkeen van sy samestellende segmente vervang word deur 'n gebroke lyn, soortgelyk aan 'n fragment, ens. Die figuur toon die eerste vier stappe van hierdie proses.

In die taal van wiskunde: dinamiese (algebraïese) fraktale

Fraktale van hierdie tipe ontstaan in die studie van nie-lineêre dinamiese stelsels (vandaar die naam). Die gedrag van so 'n stelsel kan beskryf word deur 'n komplekse nie-lineêre funksie (polinoom) f (z). Neem 'n beginpunt z0 op die komplekse vlak (sien sybalk). Beskou nou so 'n oneindige reeks getalle op die komplekse vlak, waarvan elk van die volgende van die vorige een verkry word: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1), … zn + 1 = f (zn).

Afhangende van die beginpunt z0, kan so 'n ry anders optree: neig na oneindig as n -> ∞; konvergeer na een of ander eindpunt; neem siklies 'n aantal vaste waardes; meer komplekse opsies is ook moontlik.

Komplekse getalle

’n Komplekse getal is’n getal wat uit twee dele bestaan – reële en denkbeeldige, dit wil sê die formele som x + iy (hier is x en y reële getalle). i is die sogenaamde. denkbeeldige eenheid, dit wil sê, 'n getal wat aan die vergelyking i ^ 2 = -1 voldoen. Die basiese wiskundige bewerkings word oor komplekse getalle gedefinieer - optelling, vermenigvuldiging, deling, aftrekking (slegs die vergelykingsbewerking word nie gedefinieer nie). Om komplekse getalle te vertoon, word 'n meetkundige voorstelling dikwels gebruik - op die vlak (dit word kompleks genoem), word die reële deel op die abskis gelê, en die denkbeeldige deel op die ordinaat, terwyl die komplekse getal sal ooreenstem met 'n punt met Cartesian koördinate x en y.

Dus, enige punt z van die komplekse vlak het sy eie karakter van gedrag tydens iterasies van die funksie f (z), en die hele vlak word in dele verdeel. In hierdie geval het die punte wat op die grense van hierdie dele lê die volgende eienskap: vir 'n arbitrêr klein verplasing verander die aard van hul gedrag skerp (sulke punte word bifurkasiepunte genoem). Dit blyk dus dat stelle punte met een spesifieke tipe gedrag, sowel as stelle bifurkasiepunte, dikwels fraktale eienskappe het. Dit is die Julia-versamelings vir die funksie f (z).

Familie van drake

Deur die basis en fragment te verander, kan jy 'n wonderlike verskeidenheid konstruktiewe fraktale kry.

Boonop kan soortgelyke bewerkings in driedimensionele ruimte uitgevoer word. Voorbeelde van volumetriese fraktale is Menger se spons, Sierpinski-piramide en ander.

Daar word ook na die draakfamilie verwys as konstruktiewe fraktale. Soms word hulle met die naam van die ontdekkers "drake van die snelweg-Harter" genoem (in hul vorm lyk hulle soos Chinese drake). Daar is verskeie maniere om hierdie kromme te teken. Die eenvoudigste en mees intuïtiewe van hulle is dit: jy moet 'n voldoende lang strook papier neem (hoe dunner die papier, hoe beter) en dit in die helfte vou. Buig dit dan weer twee keer in dieselfde rigting as die eerste keer.

Na verskeie herhalings (gewoonlik na vyf of ses voue word die strook te dik om netjies verder gebuig te word), moet jy die strook terug los en probeer om 90˚-hoeke by die voue te vorm. Dan sal die kromme van die draak in profiel uitdraai. Dit sal natuurlik net 'n benadering wees, soos al ons pogings om fraktale voorwerpe uit te beeld. Die rekenaar laat jou toe om baie meer stappe in hierdie proses uit te beeld, en die resultaat is 'n baie mooi figuur.

Die Mandelbrot-stel is op 'n effens ander manier gebou. Beskou die funksie fc (z) = z ^ 2 + c, waar c 'n komplekse getal is. Kom ons konstrueer 'n ry van hierdie funksie met z0 = 0, afhangende van die parameter c, kan dit tot oneindig divergeer of begrens bly. Boonop vorm al die waardes van c waarvoor hierdie ry begrens is, die Mandelbrot-versameling. Dit is in detail bestudeer deur Mandelbrot self en ander wiskundiges, wat baie interessante eienskappe van hierdie stel ontdek het.

Daar word gesien dat die definisies van die Julia- en Mandelbrot-versamelings soortgelyk is aan mekaar. Trouens, hierdie twee stelle is nou verwant. Die Mandelbrot-versameling is naamlik al die waardes van die komplekse parameter c waarvoor die Julia-versameling fc (z) verbind is ('n stel word verbind genoem as dit nie in twee onsamehangende dele verdeel kan word nie, met 'n paar bykomende voorwaardes).

Fraktale en lewe

Vandag word die teorie van fraktale wyd gebruik in verskeie velde van menslike aktiwiteit. Benewens 'n suiwer wetenskaplike voorwerp vir navorsing en die reeds genoemde fraktale skildery, word fraktale in inligtingsteorie gebruik om grafiese data saam te pers (hier word hoofsaaklik gebruik gemaak van die selfgelykvormigheidseienskap van fraktale - immers om 'n klein fragment van 'n tekening en transformasies waarmee jy die res van die dele kan kry, is baie minder geheue nodig as om die hele lêer te stoor).

Deur ewekansige versteurings by die formules wat die fraktaal definieer by te voeg, kan 'n mens stogastiese fraktale verkry wat sommige werklike voorwerpe baie aanneemlik oordra - reliëfelemente, die oppervlak van waterliggame, sommige plante, wat suksesvol in fisika, geografie en rekenaargrafika gebruik word om groter ooreenkoms van gesimuleerde voorwerpe met werklike. In elektronika word antennas vervaardig wat 'n fraktale vorm het. Hulle neem min spasie op en bied 'n taamlike hoë kwaliteit seinontvangs.

Ekonome gebruik fraktale om wisselkoerskrommes te beskryf ('n eienskap wat deur Mandelbrot ontdek is). Dit sluit hierdie klein uitstappie na die ongelooflik mooi en diverse wêreld van fraktale af.