Plat, sferiese of hiperboliese vorm van ons heelal?

2024 Outeur: Seth Attwood | [email protected]. Laas verander: 2023-12-16 15:56

Volgens ons is die heelal oneindig. Vandag weet ons dat die Aarde die vorm van 'n sfeer het, maar ons dink selde aan die vorm van die Heelal. In meetkunde is daar baie driedimensionele vorms as 'n alternatief vir die "bekende" oneindige ruimte. Die skrywers verduidelik die verskil in die mees toeganklike vorm.

As ons na die naghemel kyk, lyk dit of die ruimte vir ewig in alle rigtings aanhou. Dit is hoe ons die Heelal voorstel – maar nie die feit dat dit waar is nie. Daar was immers 'n tyd toe almal gedink het die Aarde is plat: die kromming van die aarde se oppervlak is onmerkbaar, en die idee dat die Aarde rond is, het onbegryplik gelyk.

Vandag weet ons dat die Aarde in die vorm van 'n sfeer is. Maar ons dink selde aan die vorm van die heelal. Soos die sfeer die plat aarde vervang het, bied ander driedimensionele vorms alternatiewe vir die "bekende" oneindige ruimte.

Twee vrae kan gevra word oor die vorm van die heelal – afsonderlike maar onderling verwante vrae. Een gaan oor meetkunde – noukeurige berekeninge van hoeke en oppervlaktes. Nog een handel oor topologie: hoe afsonderlike dele in 'n enkele vorm saamsmelt.

Kosmologiese data dui daarop dat die sigbare deel van die Heelal glad en homogeen is. Die plaaslike struktuur van die ruimte lyk byna dieselfde op elke punt en in elke rigting. Slegs drie geometriese vorms stem ooreen met hierdie kenmerke - plat, sferies en hiperbolies. Kom ons kyk om die beurt na hierdie vorms, 'n paar topologiese oorwegings en gevolgtrekkings gebaseer op kosmologiese data.

Plat heelal

Trouens, dit is skoolmeetkunde. Die hoeke van 'n driehoek tel 180 grade op, en die oppervlakte van 'n sirkel is πr2. Die eenvoudigste voorbeeld van 'n plat driedimensionele vorm is 'n gewone oneindige ruimte, wiskundiges noem dit Euklidies, maar daar is ander plat opsies.

Dit is nie maklik om hierdie vorms voor te stel nie, maar ons kan ons intuïsie verbind deur in twee dimensies in plaas van drie te dink. Benewens die gewone Euklidiese vlak, kan ons ander plat vorms skep deur 'n stuk van die vlak uit te sny en sy rande vas te plak. Kom ons sê ons sny 'n reghoekige stuk papier uit en plak die teenoorgestelde kante daarvan met kleefband vas. As jy die boonste rand aan die onderkant vasgom, kry jy 'n silinder.

Jy kan ook die regterrand na links vasgom – dan kry ons 'n doughnut (wiskundiges noem hierdie vorm 'n torus).

Jy sal waarskynlik beswaar maak: "Iets is nie baie plat nie." En jy sal reg wees. Ons het 'n bietjie verneuk oor die plat torus. As jy regtig op hierdie manier 'n torus uit 'n stuk papier probeer maak, sal jy probleme ondervind. Dit is maklik om 'n silinder te maak, maar dit sal nie werk om sy punte vas te plak nie: die papier sal langs die binnesirkel van die torus opfrommel, maar dit sal nie genoeg wees vir die buitenste sirkel nie. So jy moet 'n soort elastiese materiaal neem. Maar strek verander die lengte en hoeke, en dus die hele meetkunde.

Dit is onmoontlik om 'n regte gladde fisiese torus van 'n plat materiaal binne 'n gewone driedimensionele ruimte te konstrueer sonder om die geometrie te verdraai. Dit bly om abstrak te spekuleer oor hoe dit is om binne 'n plat torus te woon.

Stel jou voor dat jy 'n tweedimensionele wese is wie se heelal 'n plat torus is. Aangesien die vorm van hierdie heelal op 'n plat vel papier gebaseer is, bly al die meetkundige feite wat ons gewoond is dieselfde - ten minste op 'n beperkte skaal: die hoeke van 'n driehoek tel 180 grade op, ensovoorts. Maar met die verandering in globale topologie deur snoei en gom, sal die lewe dramaties verander.

Om mee te begin, het die torus reguit lyne wat lus en terugkeer na die beginpunt.

Op 'n verwronge torus lyk hulle geboë, maar vir die inwoners van 'n plat torus lyk hulle reguit. En aangesien die lig in 'n reguit lyn beweeg, as jy direk in enige rigting kyk, sal jy jouself van agter sien.

Dit is asof lig op die oorspronklike stuk papier deur jou gegaan het, na die linkerrand gegaan het, en dan weer aan die regterkant verskyn het, soos in 'n videospeletjie.

Hier is nog’n manier om daaroor te dink: jy (of’n ligstraal) kruis een van die vier rande en bevind jouself in’n nuwe vertrek, maar eintlik is dit dieselfde vertrek, net vanuit’n ander oogpunt. As jy deur so 'n heelal dwaal, sal jy 'n eindelose aantal kopieë van die oorspronklike kamer teëkom.

Dit beteken dat jy 'n oneindige aantal kopieë van jouself sal neem waar jy ook al kyk. Dit is 'n soort spieël-effek, net hierdie kopieë is nie presies refleksies nie.

Op die torus stem elkeen van hulle ooreen met een of ander lus, waarlangs die lig na jou terugkeer.

Op dieselfde manier kry ons 'n plat driedimensionele torus deur die teenoorgestelde vlakke van 'n kubus of ander boks vas te plak. Ons sal nie hierdie ruimte binne 'n gewone oneindige ruimte kan uitbeeld nie - dit sal eenvoudig nie pas nie - maar ons sal abstrak kan spekuleer oor die lewe daarin.

As lewe in 'n tweedimensionele torus soos 'n eindelose tweedimensionele reeks identiese reghoekige kamers is, dan is lewe in 'n driedimensionele torus soos 'n eindelose driedimensionele reeks identiese kubieke kamers. Jy sal ook 'n oneindige aantal kopieë van jou eie sien.

Die driedimensionele torus is slegs een van tien variante van die eindige plat wêreld. Daar is ook oneindige plat wêrelde - byvoorbeeld 'n driedimensionele analoog van 'n oneindige silinder. Elkeen van hierdie wêrelde sal sy eie "lagkamer" met "refleksies" hê.

Kan ons heelal een van die plat vorms wees?

Wanneer ons in die ruimte kyk, sien ons nie 'n oneindige aantal van ons eie kopieë nie. Ongeag, dit is nie maklik om plat vorms uit te skakel nie. Eerstens het hulle almal dieselfde plaaslike geometrie as die Euklidiese ruimte, dus sal dit nie moontlik wees om hulle met plaaslike metings te onderskei nie.

Kom ons sê jy het selfs jou eie kopie gesien, hierdie veraf beeld wys net hoe jy (of jou sterrestelsel as geheel) in die verre verlede gelyk het, aangesien die lig 'n lang pad gestap het totdat dit jou bereik het. Miskien sien ons selfs ons eie kopieë – maar het onherkenbaar verander. Boonop is verskillende kopieë op verskillende afstande van jou af, dus is hulle nie eenders nie. En boonop so ver dat ons nog niks sal sien nie.

Om hierdie probleme te omseil, soek sterrekundiges gewoonlik nie na kopieë van hulself nie, maar na herhalende kenmerke in die mees afgeleë sigbare verskynsel - die kosmiese mikrogolf agtergrondbestraling, dit is 'n oorblyfsel van die Oerknal. In die praktyk beteken dit om na pare sirkels te soek met bypassende patrone van warm en koue kolle - daar word aanvaar dat hulle dieselfde is, net van verskillende kante.

Sterrekundiges het in 2015 net so 'n soektog gedoen danksy die Planck-ruimteteleskoop. Hulle het data saamgestel oor die tipe samevallende sirkels wat ons verwag om binne 'n plat 3D-torus of ander plat 3D-vorm te sien - 'n sogenaamde plaat - maar hulle het niks gevind nie. Dit beteken dat as ons wel in 'n torus woon, dit so groot blyk te wees dat enige herhalende fragmente buite die waarneembare heelal lê.

Sferiese vorm

Ons is baie bekend met tweedimensionele sfere - dit is die oppervlak van 'n bal, 'n lemoen of die Aarde. Maar wat as ons heelal 'n driedimensionele sfeer is?

Om 'n driedimensionele sfeer te teken is moeilik, maar dit is maklik om dit met 'n eenvoudige analogie te beskryf. As 'n tweedimensionele sfeer 'n versameling is van alle punte op 'n vaste afstand vanaf een of ander sentrale punt in gewone driedimensionele ruimte, is 'n driedimensionele sfeer (of "trisfeer") 'n versameling van alle punte op 'n vaste afstand van sommige sentrale punt in vierdimensionele ruimte.

Lewe binne 'n trisfeer is baie anders as lewe in plat ruimte. Om dit te visualiseer, stel jou voor dat jy 'n tweedimensionele wese in 'n tweedimensionele sfeer is. Die tweedimensionele sfeer is die hele Heelal, daarom kan jy nie die driedimensionele ruimte wat jou omring sien nie en kan nie daarin kom nie. In hierdie sferiese heelal beweeg lig oor die kortste pad: in groot sirkels. Maar hierdie kringe lyk vir jou reguit.

Stel jou nou voor dat jy en jou 2D-maat by die Noordpool kuier, en hy het gaan stap. As jy wegbeweeg, sal dit eers geleidelik in jou visuele sirkel afneem – soos in die gewone wêreld, al is dit nie so vinnig soos ons gewoond is nie. Dit is omdat namate jou visuele kring groei, jou vriend al hoe minder daarvan opneem.

Maar sodra jou vriend die ewenaar oorsteek, gebeur iets vreemds: hy begin in grootte toeneem, alhoewel hy in werklikheid voortgaan om weg te beweeg. Dit is omdat die persentasie wat hulle in jou visuele kring beslaan, toeneem.

Drie meter van die Suidpool sal jou vriend lyk of hy drie meter van jou af staan.

Nadat jy die Suidpool bereik het, sal dit jou hele sigbare horison heeltemal vul.

En wanneer daar niemand by die Suidpool is nie, sal jou visuele horison nog vreemder wees – dis jy. Dit is omdat die lig wat jy uitstraal deur die sfeer sal versprei totdat dit terugkom.

Dit beïnvloed die lewe in die 3D-ryk direk. Elke punt van die trisfeer het 'n teenoorgestelde, en as daar 'n voorwerp daar is, sal ons dit in die hele lug sien. As daar niks daar is nie, sal ons onsself in die agtergrond sien - asof ons voorkoms op 'n ballon geplaas is, dan binneste buite gedraai en tot die hele horison opgeblaas is.

Maar al is die trisfeer die grondliggende model vir sferiese meetkunde, is dit ver van die enigste moontlike ruimte. Soos ons verskillende plat modelle gebou het deur stukke Euklidiese ruimte te sny en vas te plak, so kan ons sferiese modelle bou deur geskikte stukke trisfeer vas te plak. Elkeen van hierdie vasgeplakte vorms sal, soos die torus, die effek van 'n "lagkamer" hê, net die aantal vertrekke in sferiese vorms sal eindig wees.

Wat as ons heelal sferies is?

Selfs die mees narcistiese van ons sien onsself nie as die agtergrond in plaas van die naghemel nie. Maar, soos in die geval van 'n plat torus, beteken die feit dat ons iets nie sien nie, glad nie dat dit nie bestaan nie. Die grense van 'n sferiese heelal kan groter wees as die grense van die sigbare wêreld, en die agtergrond is eenvoudig nie sigbaar nie.

Maar anders as 'n torus, kan 'n sferiese heelal met behulp van plaaslike metings opgespoor word. Sferiese vorms verskil van oneindige Euklidiese ruimte nie net in globale topologie nie, maar ook in klein meetkunde. Byvoorbeeld, aangesien reguit lyne in sferiese meetkunde groot sirkels is, is die driehoeke daar "mollig" as die Euklidiese, en die som van hul hoeke oorskry 180 grade.

Basies is die meting van kosmiese driehoeke die belangrikste manier om te kyk hoe geboë die heelal is. Vir elke warm of koue kol op die kosmiese mikrogolfagtergrond is sy deursnee en afstand vanaf die Aarde, wat die drie sye van die driehoek vorm, bekend. Ons kan die hoek meet wat gevorm word deur die kol in die naghemel - en dit sal een van die hoeke van die driehoek wees. Ons kan dan kyk of die kombinasie van die sylengtes en die som van die hoeke ooreenstem met planêre, sferiese of hiperboliese meetkunde (waar die som van die hoeke van die driehoek minder as 180 grade is).

Die meeste van hierdie berekeninge, saam met ander metings van kromming, neem aan dat die heelal óf heeltemal plat óf baie naby daaraan is. Een navorsingspan het onlangs voorgestel dat sommige van die 2018-data van die Planck-ruimteteleskoop meer ten gunste van 'n sferiese heelal spreek, hoewel ander navorsers aangevoer het dat die bewyse wat aangebied word, aan statistiese foute toegeskryf kan word.

Hiperboliese meetkunde

Anders as 'n sfeer, wat op homself sluit, open hiperboliese geometrie of ruimte met negatiewe kromming na buite. Dit is die geometrie van die breërandhoed, koraalrif en saal. Die basiese model van hiperboliese meetkunde is oneindige ruimte, net soos plat Euklidies. Maar aangesien 'n hiperboliese vorm baie vinniger uitbrei as 'n plat een, is daar geen manier om selfs 'n tweedimensionele hiperboliese vlak binne die gewone Euklidiese ruimte te pas as ons nie die meetkunde daarvan wil verdraai nie. Maar daar is 'n verwronge beeld van die hiperboliese vlak bekend as die Poincaré-skyf.

Uit ons oogpunt lyk dit of die driehoeke naby die grenssirkel baie kleiner is as dié naby die middel, maar vanuit die oogpunt van hiperboliese meetkunde is alle driehoeke dieselfde. As ons probeer het om hierdie driehoeke werklik dieselfde grootte uit te beeld - miskien deur gebruik te maak van elastiese materiaal en elke driehoek om die beurt op te blaas en van die middel af na buite te beweeg - sou ons skyf soos 'n wyerandhoed lyk en meer en meer buig. En soos jy nader aan die grens kom, sou hierdie kromming buite beheer raak.

In gewone Euklidiese meetkunde is die omtrek van 'n sirkel direk eweredig aan sy radius, maar in hiperboliese meetkunde groei die sirkel eksponensieel relatief tot die radius. 'n Hoop driehoeke word naby die grens van die hiperboliese skyf gevorm

As gevolg van hierdie kenmerk, wil wiskundiges sê dat dit maklik is om verlore te raak in hiperboliese ruimte. As jou vriend in normale Euklidiese ruimte van jou wegbeweeg, sal hy begin wegbeweeg, maar eerder stadig, want jou visuele sirkel groei nie so vinnig nie. In hiperboliese ruimte brei jou visuele sirkel eksponensieel uit, so jou vriend sal binnekort krimp tot 'n oneindig klein spikkeltjie. Dus, as jy nie sy roete gevolg het nie, is dit onwaarskynlik dat jy hom later sal kry.

Selfs in hiperboliese meetkunde is die som van die hoeke van 'n driehoek minder as 180 grade - byvoorbeeld, die som van die hoeke van sommige driehoeke uit die Poincaré-skyfmosaïek is slegs 165 grade.

Hulle kante blyk indirek te wees, maar dit is omdat ons na hiperboliese meetkunde deur 'n verdraaiende lens kyk. Vir 'n inwoner van die Poincaré-skyf is hierdie kurwes eintlik reguit lyne, so die vinnigste manier om van punt A na punt B (albei by die rand) te kom, is deur 'n snit na die middel.

Daar is 'n natuurlike manier om 'n driedimensionele analoog van die Poincaré-skyf te maak - neem 'n driedimensionele bal en vul dit met driedimensionele vorms, wat geleidelik afneem soos hulle die grenssfeer nader, soos driehoeke op 'n Poincaré-skyf. En, soos met vlakke en sfere, kan ons 'n hele rits ander driedimensionele hiperboliese ruimtes skep deur geskikte stukke van 'n driedimensionele hiperboliese bal uit te sny en sy vlakke vas te plak.

Wel, is ons heelal hiperbolies?

Hiperboliese meetkunde, met sy nou driehoeke en eksponensieel groeiende sirkels, is glad nie soos die ruimte rondom ons nie. Inderdaad, soos ons reeds opgemerk het, neig die meeste van die kosmologiese metings na 'n plat heelal.

Maar ons kan nie uitsluit dat ons in 'n sferiese of hiperboliese wêreld leef nie, want klein fragmente van albei wêrelde lyk amper plat. Byvoorbeeld, die som van die hoeke van klein driehoeke in sferiese meetkunde is net effens meer as 180 grade, en in hiperboliese meetkunde is dit net effens minder.

Dit is hoekom die ou mense gedink het dat die Aarde plat is – die kromming van die Aarde is nie met die blote oog sigbaar nie. Hoe groter die sferiese of hiperboliese vorm, hoe platter elkeen van sy dele, dus, as ons heelal 'n uiters groot sferiese of hiperboliese vorm het, is sy sigbare deel so naby aan plat dat sy kromming slegs met ultra-akkurate instrumente opgespoor kan word, en ons het hulle nog nie uitgevind nie …